［３］計算の意味づけ

• なぜ 10 で割った余りを考えてはいけないのか
  11 で割った余りを出すより， 10 で割った余りを出す方が簡単なのになぜ 11 で割った余りを使うのでしょう． これを考えてみます．例えば，10で割った余りの世界では
  　たし算　5+3=8，0+8=8，7+5=2，9+6=5，8+2=0，
  　かけ算　2*3=6，0*9=0，2*5=0，7*9=3
  などとなります．ここで使える数字は 0 から 9 までの数だけです．
  この世界での１次方程式
  　2x=0
  の解は x=0 ですが，もうひとつ x=5 も解になります． このように10で割った余りの世界では１次方程式が一意な解をもたないことがあります． また，2x=1 のように解が存在しない方程式もあります． このことは一般に証明されていて，p で割った余りの世界を考えた場合， １次方程式が一意な解をもつためには p が素数でなければなりません． 0 から 9 までの数を使う場合，10 の近辺の素数は 11 です．従って 11 を使います．

• エラーチェックの意味
  ISBN を読み取ることを考えれば， １つの数の読み違えはエラーチェックの項の計算結果と合わなくなるので， それを検出できます．２個まちがえた場合はよほど意識的に間違えないかぎり， やはりエラーになります．故意に間違える確率は非常に小さい． このようにエラーチェックの項があれば読み取りエラーを防ぐことができます． もちろん，万能ではありません．
  また，エラーチェックの項の定義で１倍，２倍，３倍としているのは対称性を少なくするためです． 例えば，エラーチェックの項の定義を
  　a10= a1+a2+a3+a4+a5+a6+a7+a8+a9
  のように単に足したものにしてみます．この場合， 例えば，a3 と a4 を入れ換えて読み込んでもエラーを検出することはできません． １倍，２倍，３倍などをつけておけばこのようなエラーを防ぐことができます．

• エラーの検出
  例えば，ISBN 4-341-00731-1 「愛の解剖学」　紀伊国屋書店，という本があったとします． エラーチェックを計算してみるとこれは間違った ISBN であることがわかります． 紀伊国屋書店の番号は 314 なので ISBN 4-314-00731-1 で計算してみると正しいことがわかります． このように２個を入れ間違えるのはよくあることで， これは「本の検索システム」 (http://www.books.or.jp/) にあった例です． www.books.or.jp はエラーチェックをかけていないことがわかります． だからどうということもないのですが．

• 数学的なこと
  p を素数とします．p で割った余りの世界を整数の集合 Z の p を法とする剰余類体とよびます． たし算とかけ算が定義できれば， ひき算とわり算が定義できて四則演算が自由にできるという意味です． また，１次方程式を解くのもあてはまるものを探すのではなく，移項したり， 両辺をある数で割ったりして解くことができます．
  注．11 で割った余りの世界では 5+8=2 でした． 11 で割ったという意味を明記していないと正確ではありません． 法 11 のことを英語では Modulus 11，あるいは Modulo 11 などと言います(モジュラス，モジュロ)． ですから，正確に書くなら 5+8=2 (mod 11) となります．

• 方程式を解く
  11 で割った余りの世界で１次方程式を解くには次のようにします．
  7x+8=2 を解いてみます．
  両辺に 3 を足します(なぜなら 8+3=0 だから)．
  　7x+8+3=2+3
  よって
  　7x=5
  両辺に 8 をかけます(なぜなら 7*8=1 だから) ．
  　7*8*x=5*8
  よって x=7．答え　x=7．

  あるいは次のように考えることもできます．8+3=0 だから，-8=3 と考えることができます． 2-8=2+(-8)=2+3=5 だから，7x+8=2 の両辺から 8 をひいて，7x=5． 7*8=1 だから，1/7=8 と考えることができます．普通，1/7 とは書かずに 7^(-1) と書きます． つまり，7 で割りたいときは 7^(-1)=8 を両辺にかければよいわけです． 両辺に 7^(-1)=8 をかけると x=5*8=7 を得ます．
  一般に a で割りたいときは a^(-1) などが必要になるのでこれらを計算しておきます．
  　1*1=1，2*6=1，3*4=1，5*9=1，7*8=1，10*10=1
  ですから，
  　1^(-1)=1，2^(-1)=6，3^(-1)=4，4^(-1)=3，5^(-1)=9，
  　6^(-1)=2，7^(-1)=8，8^(-1)=7，9^(-1)=5，10^(-1)=10
  です．割り算をしたいときはこれらを使います．

• エラーチェックの項の別な定義
  1+10=0 だから -1=10 と考えることができます．エラーチェックの項 a10 は
  　a10= 1*a1+2*a2+3*a3+4*a4+5*a5+6*a6+7*a7+8*a8+9*a9
  で定義されましたが
  　1*a1+2*a2+3*a3+4*a4+5*a5+6*a6+7*a7+8*a8+9*a9+(-1)*a10=0
  だから
  　1*a1+2*a2+3*a3+4*a4+5*a5+6*a6+7*a7+8*a8+9*a9+10*a10=0
  と考えることもできます．また，この両辺を -1 倍して，-1=10，-2=9，-3=8 などを使うと
  　10*a1+9*a2+8*a3+7*a4+6*a5+5*a6+4*a7+3*a8+2*a9+1*a10=0
  とも書けます．従って，ISBN を左から a1，a2，a3，… とせずに右から番号を打って
  　ISBN a10 a9 a8 a7 a6 a5 a4 a3 a2 a1
  とした場合，エラーチェックの項 a1 の定義は
  　1*a1+2*a2+3*a3+4*a4+5*a5+6*a6+7*a7+8*a8+9*a9+10*a10=0
  となります．JIS [1] ではこのように定義しています． 11 で割った場合は ISBN の左から１倍，２倍，…，10倍の和が 0 ということと 右から１倍，２倍，…，10倍の和が 0 というのは同じことになります． p で割った場合も同じです．ここでは１番わかりやすいと思える前節の定義を採用しました．

• 8^(-1)=7 などの求め方
  上の場合，8*x=1 となる x は比較的簡単に求めることができました． 一般に p で割った余りの世界で a*x=1 (a< p) となる x を求めるには次のようにします．
  8^(-1)=7 の例でやってみます．
  11 と 8 に対してユークリッドの互除法を用います．
  　11=8*1+3
  　8=3*2+2
  　3=2*1+1
  11 と 8 は互いに素だから最大公約数は 1 です．従って最後の余りは常に 1 となります． 上の式を下から順に代入していきます．
  　1=3-2*1=3-(8-3*2)*1=-8+3*3=-8+(11-8*1)*3=-4*8+3*11
  ここで -4 =7-11 と考えることができるので
  　1=(7-11)*8+3*11=7*8-5*11
  を得ます．つまり，11 で割った余りの世界では 7*8=1 となります．
  一般の場合も同様です．これは次のような問題と同等です．

  問題．
  　a，b を互いに素な自然数とする．1/(a*b)=m/a+n/b となる整数 m，n を求めよ．

  例題1．
  　1/(113*300)=m/113+n/300 となる整数 m，n の組を１組求めよ．

  解答．
  300*m+113*n=1 となる整数 m，n を求めます．
  300 と 113 に対してユークリッドの互除法を用います．
  　300=113*2+74
  　113=74*1+39
  　74=39*1+35
  　39=35*1+4
  　35=4*8+3
  　4=3*1+1
  下から順に代入していきます．
  　1=4-3=4-(35-4*8)=-35+4*9=-35+(39-35)*9=39*9-35*10
  　=39*9-(74-39)*10=-74*10+39*19=-74*10+(113-74)*19=113*19-74*29
  　=113*19-(300-113*2)*29=113*77-300*29
  従って，答え　m=-29，n=77 です．

  このような m，n は無数にありますが，今その１組を求めたわけです．
  この例題の意味は 300 で割った余りの世界(体ではありませんが)では
  　113*77=1 になるということです．実際，113*77=8701 ですがこれを300で割れば余りは 1 となります．