［４］バーコード

• ウーロン茶
  例えば，缶入りのウーロン茶を買って来てバーコードをみると
  　4902102024136
  となっています． 黒バーと白バーの列がなぜこの数字を表すかは次節で考えます． 今の場合，49 は日本，02102 は製造会社を表しています． 02413 はその会社における商品番号です．日本では５ケタずつ取ります． 最後の 6 は読み取りのエラーチェックのためにあります． ここでもやはりエラーチェックの話が中心です． 国コードについては資料「バーコードの国コード」を参照してください．

• 日本の本
  本にもバーコードがついています．例えば，日本の本で
  　ISBN 4-00-430445-8　C0222 P650E
  の場合，バーコードは
  　9784004304456
  　1910222006508
  となっています．978 は商品が書籍であることを表しています． これは国コードと同じ意味で，世界共通です． Cf. 資料「バーコードの国コード」． その次に ISBN を９個入れます． 最後の項はこのバーコードに対するエラーチェックです． ２番目のバーコードの 191 は書籍 JAN コードです． JAN は Japanese Article Numbering のことです． 国内規格とはいえ国コード以外のものを使う習慣になっています． その後に４ケタの分類番号を入れ(0222)， 価格を５ケタで表します(00650)．価格が５ケタを超える場合は 00000 とします． 最後の 8 がエラーチェックです．

• 外国の本
  外国の本で　ISBN 0-201-59881-7　の場合，バーコードは
  　9780201598810
  　54995
  などとなっています．１番目は ISBN で日本の本と同じです． ２番目のバーコードは５ケタで価格を表しています． 最初の 5 は US dollor を意味し，次の４ケタでセントを含めた価格を表示します． $49.95 US です．このルールだと100ドル以上は書けないので， 書けないときは 59999 にします．「価格不明」の場合は 90000 を使います． なお，UK pound は 0 から始まります．他のものは知りません． 価格のバーコードにはエラーチェックは入っていません．

• エラーチェックの項の定義
  ここでは 10 で割った余りの世界を考えます． 前節のたし算，かけ算を思いだしてください． さて，13ケタのバーコードがあったとして，右から a1，a2，… としていきます． すなわち，
  　a13 a12 a11 a10 a9 a8 a7 a6 a5 a4 a3 a2 a1
  を考えます．それぞれの項は 0 から 9 までの値をとります． 最後のエラーチェックの項 a1 は次の式で定義されます．

  　a1+3*a2+a3+3*a4+a5+3*a6+a7+3*a8+a9+3*a10+a11+3*a12+a13=0　… (1)

  １つ飛びに３倍していきます． ただし，かけ算，たし算は10 で割った余りの世界で行います．(1) 式は

  　a1+a3+a5+a7+a9+a11+a13+3*(a2+a4+a6+a8+a10+a12)=0　… (2)

  と書くことができます．すなわち，偶数番の和の３倍に a1 以外の奇数番の和を足したものが -a1 になります．これがエラーチェックの定義です．

• 計算例
  ウーロン茶のバーコード
  　4902102024136
  の場合，エラーチェックの 6 を計算してみます．
  偶数番の和は 3+4+0+0+2+9=8　(10で割った余りを答えにしています)，
  エラーチェックを除いた奇数番の和は 1+2+2+1+0+4=0　です．
  従って，a1+0+3*8=0．よって，a1+4=0．ゆえに a1=6 となります． あるいは普通の計算をすることもできます． 偶数番の和の３倍に a1を除いた奇数番を足します．
  　3*(3+4+0+0+2+9)+1+2+2+1+0+4=64
  です．これに a1 を足したものが 10 の倍数になればよいので a1=70-64=6 です． 本や分類番号のバーコードについても同様です． 身近にあるバーコードで確かめてみてください．

• 定義の意味
  なぜ右から a1，a2，… と番号を打つのか
  これは本質的なことではありません．左から番号を打っても同様の定義式は書けます． ただ，バーコードには13ケタのものだけでなく，8ケタや14ケタなどいろいろなものがあるので， 左から番号を打つとエラーチェックの項が特定できなくなります． それで右から番号を打っています．ISBN も JIS ではそうしていました．
  注１．エラーチェックの項を除いて右から a1，a2，… とする場合もあります． この場合，偶数と奇数が入れ替わります．

  なぜ10 で割った余りの世界か
  前節で10 で割った余りの世界では１次方程式が一意な解をもたないので「まずい」と言いました． でも，10 で割った余りの世界でも１次方程式が一意な解をもつことがあります．
  　ax=b
  の場合， a が 10 と互いに素な数 (a = 1，3，7，9)であれば，O.K. です． a = 0，2，4，5，6，8 の場合は一意な解を持たなかったり，解が存在しなかったりします． このために 3 倍を用います．7 倍や 9 倍を用いても同じです．
  定義式 (1) で１つ飛びに３倍しているのは隣り合う数を交換すると別な値になるようにするためです． しかし，この定義では奇数番同士， あるいは偶数番同士を入れ換えて読み込んでもエラーの検出はできません． 11 を使った ISBN では検出できました．ISBN よりエラー検出の精度が悪いと言えます． でも，１つ飛んで読み間違えることはほとんどなく， この程度の精度の悪さには目をつむろうというのです． 10 で割るのは簡単ですし，何よりケタ数が何ケタでもこの方法は使えます．
  もう少し対称性を少なくさせるのなら，7 とか 9 も使って
  　a1+3*(a2+a5+a8+a11)+7*(a3+a6+a9+a12)+9*(a4+a7+a10+a13)=0　… (3)
  のような定義にすることもできます．あるいは
  　a1+a5+a9+a13+3*(a2+a6+a10)+9*(a3+a7+a11)+7*(a4+a8+a12)=0　… (4)
  なども可能です．でも (2) はとてもシンプルです．
  注２．偶数番の和の３倍か，奇数番の和の３倍かは混乱しそうです． こんな時は偶数，奇数に関係なく，エラーチェックの隣から３倍していくと考えればよいでしょう． そうすれば自然に (2) 式は出てきます． エラーチェックを求めることを考えればそれ自身は３倍しない方が便利ですから．

• どこか１つが未知の場合
  例えば，ウーロン茶のバーコード 4902102024136 の場合， どこか１つを隠してみましょう．右から第４番目の 4 がわからないとして，そこを x とします．
  　バーコード 490210202x136　です．
  エラーチェックの項の定義より
  　6+1+2+2+1+0+4+3*(3+x+0+0+2+9)=0
  です．ここで 10 で割った余りの世界でたし算，かけ算をします．
  　3x+8=0
  となります．両辺に 2 を足します(なぜなら 8+2=0 だから)．
  　3x=2
  両辺に 7 をかけます(なぜなら 3*7=1 だから) ．
  　3*7*x=2*7
  よって x=4．答え　x=4．

  
  

• 定義式 (2) と同値な式
  バーコードの奇数項の和を x とし，偶数項の和を y とすれば，定義式 (2) は
  　x+3y=0　… (2)
  となります．今，奇数項の和と偶数項の和の情報しか使わないとすれば，一般に
  　ax+by=0　… (5)
  の形が定義式にふさわしいことになります．ax+by+c=0 の形もありますが， あまり本質的ではありません(平行移動すれば (5) の形になります)． ただし，a，b は1，3，7，9 の値をとります．(2) 式を 7 倍すれば，7*3=1 ですから，
  　7x+y=0
  となります．これは (2) 式と同じものです．a，b が1，3，7，9 の場合， (5) 式の形は全部で 16 通りありますが，同値なものに分類すれば次のようになります．
  　(ア)　x+3y=0，3x+9y=0，7x+y=0，9x+7y=0
  　(イ)　x+y=0，3x+3y=0，7x+7y=0，9x+9y=0
  　(ウ)　3x+y=0，9x+3y=0，x+7y=0，7x+9y=0
  　(エ)　x+9y=0，3x+7y=0，7x+3y=0，9x+y=0
  (イ) は単にすべてを足すだけなのでこれを除くと，定義式としてふさわしいのは， x+3y=0，3x+y=0，x+9y=0 しかありません． まあ，このうちどれを使ってもよいのですが， 3x+y=0 はほとんど同じものでエラーチェックの項を３倍していますし， 9 より 3 の方が簡単ですから，定義式 (2) が妥当と言えます． 選択の余地はあまりないということです．
  注３．S={1，3，7，9} とおきます．S に10 で割った余りの世界のかけ算を定義します． どの２つをかけても S の中のどれかになります(S の中でたし算はできません)． 割り算も定義できます．このような意味で， S は乗法群をなすと言います．このことは一般に成立します． すなわち，N で割った余りの世界で N と互いに素な数ばかりを集めて S とおきます． S はこの積に関して乗法群をなします．
  今の場合は 3*3=9，3*3*3=7 ですから，S={3^(0)，3^(1)，3^(2)，3^(3)} とも書けます． このような S を 3 で生成される巡回群といいます．ですから (4) 式は
  　a1+a5+a9+a13+3*(a2+a6+a10)+3^(2)*(a3+a7+a11)+3^(3)*(a4+a8+a12)=0
  とも書けます．N が素数ならば，N で割った余りの世界は 0,1,2,...,N-1 の数で構成されますが， その乗法群は S={1,2,...,N-1} となります．０だけ除くことになります． 例えば，N=11 の場合，S={1,2,...,10} ですが，これは 2 で生成される巡回群にもなります． S={1,2,...,10}={2^(0),2^(1),2^(2),...,2^(9)} です．
  余計な話でした．